Задача 7.
На какое наибольшее количество групп можно разбить числа 1, 2, 3, …, 100 так, чтобы сумма чисел в каждой группе была простым числом? (Каждое число должно войти ровно в одну группу. Каждая группа должна состоять из одного или нескольких чисел.)
Ответ на Задачу 7.
Ответ: 51 группа.
Решение:
Заметим, что если в какой-то группе все числа чётные, то и сумма чисел в ней тоже чётная. Как известно, единственное простое чётное число — это 2. Значит, получить группу, состоящую только из чётных чисел, сумма которых является простым числом, можно единственным способом: взять в неё только число 2. В каждую из остальных групп придётся брать хотя бы одно нечётное число, поэтому таких групп не более 50. Итого получаем, что групп не более 51.
Теперь приведём пример разбиения на 51 группу. Для всех 𝑘 от 1 до 50, кроме 𝑘 = 2 и 𝑘 = 4, возьмём в группу с номером 𝑘 два числа 𝑘 и 101 − 𝑘, которые в сумме дают простое число 101.
В группу № 2 возьмём только число 2.
В группу № 4 возьмём числа 4 и 99, их сумма равна простому числу 103.
В группу № 51 возьмём только число 97, которое является простым.
Итого мы получили 51 группу, сумма чисел в каждой из которых — простое число.
