Задача 5.
В магазине продаются орехи четырёх видов: фундук, миндаль, кешью и фисташки. Степан хочет купить 1 килограмм орехов одного вида и ещё 1 килограмм орехов — другого. Он вычислил, во сколько ему может обойтись такая покупка в зависимости от того, какие два вида орехов он выберет. Пять из шести возможных покупок Степана стоили бы 1900, 2070, 2110, 2330 и 2500 рублей. Сколько рублей составляет стоимость шестой возможной покупки?
Ответ на Задачу 5.
Ответ: 2290.
Решение:
Пусть 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 — стоимость 1 килограмма фундука, миндаля, кешью и фисташек соответственно. Из условия следует, что множество 𝐴 = {1900, 2070, 2110, 2330, 2500} содержится в множестве 𝐵 = {𝑎 + 𝑏, 𝑏 + 𝑐, 𝑐 + 𝑑, 𝑑 + 𝑎, 𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑}.
Заметим, что 6 элементов множества 𝐵 можно разбить на 3 пары (𝑎 + 𝑏, 𝑐 + 𝑑), (𝑏 + 𝑐, 𝑑 + 𝑎), (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑) с одинаковой суммой 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑. Это означает, что в множестве 𝐴 можно выделить 2 пары чисел с одинаковой суммой.
Нетрудно понять, что это могут быть только пары (1900, 2500) и (2070, 2330) c суммой 4400 (например, можно заметить, что все остальные пары либо пересекаются, либо у их сумм отличаются последние две цифры). Тогда неизвестная шестая стоимость вычисляется без труда: 4400 − 2110 = 2290 рублей.
Замечание: Условие задачи реализуется для 𝑎 = 930, 𝑏 = 970, 𝑐 = 1140, 𝑑 = 1360.
