Задача 3.
У Маши есть три одинаковых игральных кубика, на гранях каждого из них написано шесть различных простых чисел с суммой 87. Маша дважды кинула все три кубика. В первый раз сумма выпавших чисел равнялась 10, во второй раз сумма выпавших равнялась 62.
Ровно одно из шести чисел ни разу не выпало. Какое?
Ответ на Задачу 3.
Ответ: 17.
Решение:
Заметим, что число 10 единственным образом представляется в виде суммы трёх простых чисел: 10 = 2 + 3 + 5. Это означает, что на кубиках есть числа 2, 3, 5, и они выпали в первый раз.
Заметим, что если чётное число 62 представимо в виде суммы трёх простых чисел, то одно из них чётно и поэтому равно 2. Тогда сумма двух оставшихся равна 60. Заметим, что среди этих двух чисел не может быть ни числа 2, ни числа 3, ни числа 5, а также что они различны (ведь числа 58, 57, 55 и 30 — составные). Это означает, что на кубиках есть два различных простых числа с суммой 60, больших 5, и они выпали во второй раз (вместе с 2).
Итак, на каждом кубике есть числа 2, 3, 5, а также два других простых числа с суммой 60. Поскольку сумма всех шести чисел равна 87, то шестое число, которое никогда не выпадало, равно 87 − 2 − 3 − 5 − 60 = 17.
