Ответ: а) 35. б) 12.

Решение:

а) В любом столбце может быть не более одного отрицательного числа, поэтому всего отрицательных чисел не больше 35. Их может быть ровно 35, если, например, сверху стоят числа −1, −2, −3, …, −35, а под ними — числа 1², 2², 3², …, 35² соответственно.

б) Докажем, что каждое из чисел в нижней строке встречается не более 3 раз.

• Пусть в нижней строке встретилось число $a$ < 0. Тогда оно не может быть чьим-то квадратом, и над ним написано число $a^2$. Поскольку в верхней строке все числа различны, то число $a$ в нижней строке встречается не более 1 раза.
• Пусть в нижней строке встретилось число $a$ > 0. Если в столбце с числом $a$ верхнее число является квадратом нижнего, то над ним написано число $a^2$. Если же нижнее число является квадратом верхнего, то над ним написано $ − \sqrt{a}$ или $\sqrt{a}$. Поскольку в верхней строке все числа различны, то число $a$ в нижней строке встречается не более 3 раз.

Поскольку каждое из чисел в нижней строке встречается не более 3 раз, а чисел там всего 35, то среди них различных не меньше $\frac{35}{3}>11$, т.е. их не меньше 12.

Осталось привести пример того, как в нижней строке может оказаться ровно 12 различных чисел.

Рассмотрим 12 наименьших простых чисел: $2 = p_1<p_2<\ldots<p_{12}$. Пусть в первых трёх столбцах снизу везде написано число $p_1^2$, а сверху написаны числа $− p_1$, $p_1$ и $p_1^4$. Аналогично в следующих трёх столбцах снизу везде написано число $p_2^2$, а сверху написаны числа $− p_2$, $p_2$ и $p_2^4$ и так далее. В последних двух столбцах снизу написано число $p_{12}^2$, а сверху написаны числа $− p_{12}$ и $p_{12}$.