Ответ: 67°.

Решение:

Отметим точки пересечения биссектрис $K$, $L$, $M$, $N$ (см. рисунок ниже).

Кроме этого, обозначим $\mathrm{\angle }A$ = $2\alpha$, $\mathrm{\angle }B$ = $2\beta$, $\mathrm{\angle }C$ = $2\gamma$, $\mathrm{\angle }D$ = $2\delta$. Поскольку сумма углов четырёхугольника $ABCD$ равна 360°, имеем:

$2\alpha +2\beta +2\gamma +2\delta =360°$

$\alpha +\beta +\gamma +\delta =180°$

Рассмотрим треугольник $KMN$. В нём:

• $\mathrm{\angle }MKN$ = $46°$,
• $\mathrm{\angle }KMN$ = $\mathrm{\angle }ALM$ = $\alpha +\beta$, так как $ALM$ — внешний угол треугольника $ABL$ (этот угол и нужно найти в задаче),
• $\mathrm{\angle }KNM$ = $\mathrm{\angle }CND$ = $180°-\gamma -\delta =\alpha +\beta$.

Следовательно, треугольник $KMN$ — равнобедренный, и $\mathrm{\angle }KMN$ = ${\displaystyle \frac{180°-46°}{2}}$ = 67°.

Другое решение:

Зафиксируем угол $A$ и перенесём параллельно угол $C$ так, чтобы вершина $C$ оказалась на биссектрисе угла $A$. (Или более формально, отметим на биссектрисе угла $A$ точку $C^{\prime }$ и проведём из неё лучи, сонаправленные лучам $CB$ и $CD$; пересечения этих лучей с лучами $AB$ и $AD$ соответственно обозначим через $B^{\prime }$ и $D^{\prime }$, как на рисунке ниже)

Стороны нового четырёхугольника $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ параллельны сторонам исходного; значит, и углы между этими сторонами такие же. Следовательно, биссектрисы нового четырёхугольника параллельны соответствующим биссектрисам исходного, и углы между ними тоже сохранились.

Но это означает, что биссектрисы углов $A$ и $C^{\prime }$ совпадают, то есть вся новая картинка симметрична относительно прямой $A{C}^{\prime }$ (из равенства треугольников $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ и $A{D}^{\prime }{C}^{\prime }$ по общей стороне и прилежащим к ней углам). Из симметрии следует, что другие две биссектрисы пересекаются на прямой $A{C}^{\prime }$ и образуют с ней равные углы. Тогда искомый угол после удвоения будет дополнять 46° до развёрнутого. Следовательно, он равен $\frac{1}{2}(180°-46°)$ = 67°.