Ответ: $n$ = 38; 122.

Решение:

Пусть $n^2 + 492 = k^2$ для некоторого натурального $k>n$. Тогда

$ 2^2⋅3⋅41 = 492 = k^2 − n^2 = (k − n)(k + n) $

Числа $k − n$ и $k + n$ имеют одинаковую чётность, поэтому они оба должны быть чётны. Поскольку $k − n<k + n$, имеем лишь два возможных случая.

• Пусть $k − n = 2$ и $k + n = 246$. Тогда $\displaystyle k = \frac{246 + 2}{2} = 124$ и $\displaystyle n = \frac{246 − 2}{2} = 122$.
• Пусть $k − n = 6$ и $k + n = 82$. Тогда $\displaystyle k = \frac{82 + 6}{2} = 44$ и $\displaystyle n = \frac{82 − 6}{2} = 38$.

Легко проверить, что обе эти пары подходят под условие.