Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2022 год, 2 этап
дата проведения: 19 октября 2022 - 21 октября 2022
источник: https://olympiads.mccme.ru/vmo/
Задача 3.
На стороне 𝐵𝐶 прямоугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 отмечена точка 𝐾. Точка 𝐻 на отрезке 𝐴𝐾 такова, что ∠𝐴𝐻𝐷 = 90°. Оказалось, что 𝐴𝐾 = 𝐵𝐶. Сколько градусов составляет угол 𝐴𝐷𝐻, если ∠𝐶𝐾𝐷 = 71°?
Ответ на Задачу 3.
Ответ: 52°.
Решение:
Поскольку 𝐵𝐶 ∥ 𝐴𝐷, получаем ∠𝐴𝐷𝐾 = ∠𝐶𝐾𝐷 = 71° (см. рисунок):
Поскольку 𝐴𝐾 = 𝐵𝐶 = 𝐴𝐷, треугольник 𝐴𝐾𝐷 является равнобедренным и ∠𝐴𝐾𝐷 = ∠𝐴𝐷𝐾 = 71°. Тогда ∠𝐾𝐴𝐷 = 180° − 2 ⋅ 71° = 38° и ∠𝐴𝐷𝐻 = 90° − ∠𝐾𝐴𝐷 = 52°.
