Задача 6.
Паша выписал в порядке возрастания все натуральные делители натурального числа 𝑘 и их пронумеровал: первый, второй, ….
Паша заметил, что если шестой делитель умножить на тринадцатый делитель, то получится исходное число 𝑘.
Сколько натуральных делителей имеет число 𝑘?
Ответ на Задачу 6.
Ответ: 18.
Решение:
Пусть натуральные делители числа $k$ упорядочены так:
$$ 1=d_1<d_2<\ldots<d_6<\ldots<d_{13}<\ldots<d_{m-1}<d_m=k $$
Заметим, что числа
$$ k=\frac{k}{d_1}>\frac{k}{d_2}>\ldots>\frac{k}{d_6}>\ldots>\frac{k}{d_{13}}>\ldots>\frac{k}{d_{m-1}}>\frac{k}{d_m}=1 $$
также являются делителями числа $k$, они различны, и их столько же. Значит, это те же самые числа, только в обратном порядке. Получаем, что
$$ d_1=\frac{k}{d_m}, d_2=\frac{k}{d_{m-1}}, \ldots, \quad d_m=\frac{k}{d_1} $$
Таким образом, делители разбиваются на пары «противоположных», дающих в произведении исходное число $k$:
$$ k=d_1 \cdot d_m=d_2 \cdot d_{m-1}=\ldots $$
В каждой такой паре сумма индексов делителей равна $m + 1$. Поскольку по условию $d_6 \cdot d_{13} = 𝑘$, получаем, что $m$ = 6 + 13 − 1 = 18.
