Задача 5.
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут.
Однажды собрались 80 жителей острова, все они надели на себя футболки с номерами от 1 до 80 (у разных жителей разные номера). Каждый из них сказал одну из двух фраз:
- «Среди собравшихся хотя бы у 5 лжецов номер футболки больше моего».
- «Среди собравшихся хотя бы у 5 лжецов номер футболки меньше моего».
Какое наименьшее количество рыцарей могло быть среди этих 80 жителей?
Ответ на Задачу 5.
Ответ: 70.
Решение:
Предположим, что лжецов хотя бы 11. Упорядочим по возрастанию номера на их футболках и выберем лжеца с 6-м по счёту номером. Тогда он обязан сказать правду, ведь есть хотя бы 5 лжецов как с меньшим номером, так и с бо́льшим. Таким образом, лжецов не более 10, т.е. рыцарей не менее 70.
Покажем, что рыцарей могло быть ровно 70. Пусть, например, рыцари были в футболках с номерами 1–70, а лжецы — в футболках с номерами 71–80. Все рыцари и лжецы с номерами 76–80 сказали первую фразу, а лжецы с номерами 71–75 сказали вторую фразу. Ясно, что все условия задач и выполняются.
