Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2022 год
дата проведения: 19 октября 2022 - 21 октября 2022
источник: https://olympiads.mccme.ru/vmo/
Задача 7.
Дан квадратный трёхчлен 𝑃(𝑥), старший коэффициент которого равен 1. На графике 𝑦 = 𝑃(𝑥) отметили две точки с абсциссами 10 и 30. Оказалось, что биссектриса первой четверти координатной плоскости пересекает отрезок между ними в его середине. Найдите 𝑃(20).
Ответ на Задачу 7.
Ответ: −80.
Решение:
Середина этого отрезка имеет координаты ( (10+30)/2 , (𝑃(10)+𝑃(30))/2 ). Поскольку она лежит на биссектрисе первой четверти, т.е. на прямой 𝑦 = 𝑥, эти координаты равны. Отсюда получаем 𝑃(10) + 𝑃(30) = 40.
Так как 𝑃(𝑥) приведённый, его можно записать в виде 𝑃(𝑥) = 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏. Тогда условие 𝑃(10) + 𝑃(30) = 40 переписывается в виде 100 + 10𝑎 + 𝑏 + 900 + 30𝑎 + 𝑏 = 40, откуда следует, что 40𝑎 + 2𝑏 = −960 и 20𝑎 + 𝑏 = −480.
Следовательно, 𝑃(20) = 400 + 20𝑎 + 𝑏 = 400 − 480 = −80.
