Задача 8.
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды собралась компания из 33 островитян, среди которых есть хотя бы один рыцарь и хотя бы один лжец. У каждого из них спросили, сколько всего лжецов в этой компании.
- 3 человека сказали: «Трое»;
- 5 человек сказали: «Меньше пяти»;
- 8 человек сказали: «Меньше восьми»;
- 17 человек сказали: «Меньше семнадцати».
Сколько всего лжецов может быть в этой компании? Укажите все возможные варианты.
Ответ на Задачу 8.
Ответ: 16 лжецов.
Решение:
Ясно, что каждую из фраз говорили либо только рыцари, либо только лжецы.
По условию задачи среди присутствующих есть хотя бы один рыцарь. Давайте рассмотрим случаи того, что он мог сказать.
Предположим, что рыцарь сказал: «Трое». Тогда лжецов всего трое, а это значит, что все островитяне сказали правду (так как 3 < 5, 3 < 8, 3 < 17), и все они — рыцари. Но это противоречит тому, что среди них есть хотя бы один лжец. Значит, первые трое из нашей компании — это лжецы.
Предположим теперь, что рыцарь сказал: «Меньше пяти». Тогда фразы «Меньше восьми» и «Меньше семнадцати» также являются правдивыми. Выходит, что всего должно быть 3 лжеца и 5 + 8 + 17 = 30 рыцарей. Но тогда лжецы сказали правду. Противоречие. Значит, первые 3 + 5 = 8 человек — лжецы.
Предположим, что рыцарь сказал: «Меньше восьми». Тогда фраза «Меньше семнадцати» также является правдивой. Выходит, что всего должно быть 3 + 5 = 8 лжецов и 8 + 17 = 25 13 рыцарей. Но тогда рыцарь, сказавший, что лжецов меньше восьми, соврал. Противоречие. Значит, первые 3 + 5 + 8 = 16 человек — лжецы.
Тогда нашему рыцарю ничего не остаётся, кроме как сказать: «Меньше семнадцати». Выходит, что всего должно быть 3 + 5 + 8 = 16 лжецов и 17 рыцарей. И это удовлетворяет всем условиям задачи.
