Задача 8.
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды собрались на заседание 50 жителей острова, среди которых было 𝑘 лжецов (𝑘 ≥ 4). Все лжецы по очереди сделали заявления:
- Первый лжец: «Среди нас рыцарей меньше, чем лжецов»,
- Второй лжец: «Среди нас рыцарей столько же, сколько лжецов»,
- Третий лжец: «Среди нас рыцарей на 1 больше, чем лжецов»,
- Четвёртый лжец: «Среди нас рыцарей на 2 больше, чем лжецов»,
- ...
- 𝑘-й лжец: «Среди нас рыцарей на (𝑘 − 2) больше, чем лжецов».
Найдите наибольшее возможное значение 𝑘.
Ответ на Задачу 8.
Ответ: 17.
Решение:
Так как все лжецы соврали, то рыцарей должно быть хотя бы на 𝑘 − 1 больше, чем лжецов. Раз лжецов ровно 𝑘, то рыцарей хотя бы 2𝑘 − 1, а на заседание собрались хотя бы 3𝑘 − 1 жителей острова. Но условию задачи нам известно, что на заседании было ровно 50 человек. Получаем неравенство:
3𝑘 − 1 ≤ 50 ⇒
3𝑘 ≤ 51 ⇒
𝑘 ≤ 17.
Осталось лишь понять, что случай с 17 лжецами и 33 рыцарями удовлетворяет условию задачи. Действительно, в этом случае рыцарей на 16 больше, чем лжецов, поэтому все 17 лжецов действительно солгали.
