Всероссийская олимпиада школьников по математике, 7 класс, 2023 год, 2 этап
дата проведения: 18 октября 2023
Задача 5.
По кругу стоят 36 натуральных чисел (не обязательно различных). Известно, что в каждой тройке подряд идущих чисел есть число, большее суммы двух других. Какое наименьшее значение может принимать сумма всех 36 чисел?
Ответ на Задачу 5.
Ответ: 60.
Решение:
Разобьём все числа на 12 троек подряд идущих чисел. В каждой такой тройке есть число, большее суммы двух других, поэтому сумма чисел в ней не менее 1 + 1 + 3 = 5. А тогда сумма вообще всех чисел не менее 5 ⋅ 12 = 60.
Осталось заметить, что если расставлять числа в порядке …, 1, 1, 3, 1, 1, 3, 1, 1, 3, … (всего 12 троек и 24 единицы), условие задачи будет выполняться (в любой тройке подряд идущих чисел будет одна тройка и две единицы, 3 > 1 + 1), и сумма всех чисел будет равна 60.
