Задача 7.
На доске в строчку выписаны семь красных целых чисел, среднее арифметическое которых равно 18. Паша собирается записать под каждым красным числом синее целое число, отличающееся от него не более чем на 3 (возможно, равное красному). Сколько различных значений (не обязательно целых) может принимать среднее арифметическое семи синих чисел?
Ответ на Задачу 7.
Ответ: 43.
Решение:
Поскольку количество синих чисел равно 7, то различные значения среднего арифметического соответствуют различным значениям суммы чисел. Поймём, сколько различных значений суммы синих чисел могло получиться.
Сумма красных чисел равна 7⋅18 = 126. Поскольку синие числа отличаются от красных не более чем на 3, то сумма синих чисел не меньше 126 − 7⋅3 = 105 и не больше 126 + 7⋅3 = 147. Кроме того, поскольку синие числа целые, то и их сумма тоже целая. Значит, для неё возможно только 147 − 105 + 1 = 43 разных значения.
Докажем, что все эти значения реализуются. Для этого возьмём набор синих чисел, в котором все синие числа на 3 меньше соответствующих красных, тогда сумма синих чисел равна 105. Далее на каждом шаге будем увеличивать на 1 какое-то синее число, которое ещё можно увеличить (например, самое левое синее из возможных). Такой процесс остановится тогда, когда каждое синее число будет на 3 больше соответствующего красного, т.е. когда сумма синих чисел станет равна 147. Так как на каждом шаге сумма синих чисел увеличивалась на 1, то она принимала все 43 значения, от 105 до 147 включительно.
Замечание: На самом деле среднее арифметическое красных чисел не влияет на ответ.
