Олимпиада «Бельчонок», 9 класс, 2019 год, 2 этап, 2 вариант
дата проведения: 10 марта 2019
Задача 3.
На некоторые клетки доски размером 10 × 10 поставили по одной фишке так, что в каждой строке, в каждом столбце и в каждой диагонали стоит чётное число фишек (может стоять 0 фишек). Угловые клетки также считаются диагоналями, состоящими из одной клетки. Каково наибольшее возможное число фишек на доске?
Ответ на Задачу 3.
Ответ: 80 фишек.
Решение:
Оценка. На каждой диагонали, состоящей из нечётного числа клеток, должна быть пустая клетка. Таких диагоналей 20, причём при шахматной раскраске половина белого цвета, половина чёрного, значит, никакие две диагонали не пересекаются, и на каждой должна быть пустая клетка, то есть всего пустых клеток не меньше 20. Тогда фишек не больше 100 − 20 = 80. Пример приведён на рисунке.
