Задача 1.
Бельчонок забыл пароль от сейфа, куда он спрятал орех. Он помнит, что паролем является наименьшее трёхзначное число, произведение цифр которого равно 240. Какой же пароль от сейфа?
Задача 2.
Многочлен x4 − x3 − 18x2 + 52x + a делится на x − b при двух различных действительных b. Одно из них b = 2. Найдите второе.
Задача 3.
Имеется три ёмкости 12, 48 и 10 литров водных растворов некоторого вещества. Во второй ёмкости процентное содержание вещества в растворе на 15% больше, чем в первой, а в третьей ёмкости содержится 35% раствор. Из второй ёмкости перелили половину раствора в первую ёмкость, а оставшуюся половину – в третью ёмкость. Оказалось, что теперь в первой и третьей ёмкостях процентное содержание вещества в растворе стало одинаковым. Сколько процентов вещества первоначально содержал первый раствор?
Задача 4.
У Бельчонка в сундуке лежат 70 орехов трёх видов: фундук, миндаль и кешью. Если он не глядя вытащит из сундука 14 орехов, среди них обязательно найдётся 6 орехов одного вида. Какое наименьшее количество орехов надо достать бельчонку, чтобы обязательно нашлось сразу 25 орехов одного вида?
Задача 5.
В треугольнике ABC проведены пересекающиеся в точке O биссектрисы AK и CL и медиана BM. Известно, что AB = 4, BC = 3 , OK = OL. Найдите квадрат длины медианы BM.
Задача 6.
Четырехзначное число $\overline{abcd}$ не делится на 10, а сумма чисел $\overline{abcd}$ + $\overline{acbd}$ делится на 900. Какой остаток получится при делении числа $\overline{abcd}$ на 90?
Задача 7.
Некоторые клетки белой квадратной доски 9 × 9 покрасили в серый или оранжевый цвета. Бельчонок за один ход может перейти по горизонтали, вертикали или диагонали на любую соседнюю клетку. Оказалось, что если бельчонок захочет пройти с любой белой клетки до любой другой белой клетки, то он гарантированно пройдёт через клетки серого и оранжевого цветов. Какое наибольшее количество белых клеток могло быть на доске?
Задача 8.
Около треугольника PQR описана окружность ω. T – точка пересечения биссектрисы внешнего угла P этого треугольника и окружности ω. Найдите градусную меру ∠QPR, если известно, что ∠PRT = ∠PRQ = 28°.
Задача 9.
На поляне в лесу за круглым столом собрались 60 бельчат. Каждый из них либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Каждый за столом сказал: «Оба моих соседа лжецы». Через некоторое время бельчата пересели и каждый сказал: «Оба моих соседа такие же, как и до пересадки». Какое наибольшее количество рыцарей могло быть за столом?
Задача 10.
Вася выписал в ряд натуральные числа, которые нацело делятся на 9:
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, …
После этого он выписал последовательность из суммы цифр этих чисел:
9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 18, 9, 9, …
Затем Вася сложил первые 550 членов этой последовательности. Какое число он получил?
