На какое наименьшее натуральное число надо умножить число 10203040506070809, чтобы получилось число без нулей?

В соревнованиях по атлетике участвовало 40 школьников, и у каждого было ровно три друга среди участников. Награды получили 27 школьников. Докажите, что есть школьник, у которого все три его друга получили награды.

Десять пятиклассников на играх решили 49 задач, причём известно, что среди них есть решившие ровно одну задачу, решившие ровно две задачи и решившие ровно три задачи. Докажите, что среди них есть школьник, решивший не менее семи задач.

Можно ли покрасить 33 клетки доски 7×7, соблюдая правило: каждая следующая закрашиваемая клетка должна соседствовать по стороне с предыдущей закрашенной клеткой, но не должна соседствовать ни с одной другой ранее закрашенной клеткой?

У продавца есть чашечные весы. Помогите продавцу придумать набор из 4 гирь, с помощью которых он сможет взвешивать на этих весах любое целое число килограммов от 1 до 12. (При каждом взвешивании можно использовать не более двух гирь; гири можно ставить на разные чашки весов.)

Можно ли на каждое поле шахматной доски поставить белого или чёрного короля так, чтобы каждый король бил больше королей чужого цвета, чем своего, а общее количество белых и чёрных королей была разной?