Задача 3.
Петя и Вася спорят о своих «успехах» в школьной математике:
- Петя: «У тебя на пять двоек больше, чем у меня!»
- Вася: «А у тебя на две пятёрки меньше, чем у меня!»
- Петя: «Нет, у нас одинаковое количество пятёрок!»
- Вася: «У нас одинаковое количество четвёрок!»
- Петя: «Но у меня три четвёрки, а у тебя всего одна!»
- Вася: «Зато у нас одинаковая сумма всех оценок!»
- Петя: «Общее количество наших пятёрок нечётно!»
- Вася: «А у тебя больше десяти троек!»
Известно, что у каждого из мальчиков правдивые и ложные высказывания чередовались через одно: за каждым правдивым высказыванием следовало ложное, а за ложным — правдивое. Также известно, что никаких оценок, кроме двоек, троек, четвёрок и пятёрок, у мальчиков нет.
Какое наибольшее количество троек могло быть у Васи?
Ответ на Задачу 3.
Заметим, что первая фраза Васи и вторая фраза Пети разной истинности. Поэтому есть два варианта:
- первые фразы Пети и Васи истинны, вторые — ложны, третьи — истинны, четвёртые — ложны
- первые фразы Пети и Васи ложны, вторые — истинны, третьи — ложны, четвёртые — истинны
Но второй вариант противоречив: высказывания «Нет, у нас одинаковое количество пятёрок!» и «Общее количество наших пятёрок нечётно!» не могут быть одновременно верными.
Поэтому, если у Пети $d$ двоек, $t$ троек и $p$ пятёрок, а у Васи $x$ троек, то:
- у Васи $d+5$ двоек
- у Васи $p+2$ пятёрок
- у Пети 3 четвёрки
- у Васи 1 четвёрка
- $2 d+3 t+12+5 p=2(d+5)+3 \cdot x+4+5(p+2)$
- $t \leqslant 10$
Поэтому $3(t-x)=12$, откуда $t-x=4$.
Поскольку $t \leqslant 10$, то $x=t-4 \leqslant 6$.
При этом можно привести пример (его построение оставим читателю), в котором у Васи 6 троек, а истинности высказываний соответствуют условию.
