Задача 5.
После окончания богатырского турнира участники разъехались по восьми направлениям розы ветров:
причём в каждом направлении отбыл хотя бы один человек.
Во все северные направления отбыло не более 28% богатырей, во все восточные — не более 25%, во все южные — не более 25%, и не более 25% уехали строго на запад.
Всего богатырей было не более 70. Сколько богатырей могло быть на турнире?
Ответ на Задачу 5.
Сперва заметим, что во все направления, помимо востока, уехало не более 28 + 25 + 25 = 78 процентов богатырей.
Поэтому на восток уехало не менее 22%, а не соседние с востоком два направления — не более 3%.
При этом туда уехали хотя бы два человека. Поэтому, если всего богатырей 𝑥, то
2 ≤ 3𝑥 / 100
откуда 𝑥 ≥ 67.
Есть 4 варианта: 𝑥 = 67, 𝑥 = 68, 𝑥 = 69, 𝑥 = 70.
А) Вариант 67 богатырей.
В первом случае в северных направлениях уехали не более 18 богатырей, в южных направлениях — не более 16 богатырей. На запад — тоже не более 16.
Поэтому на восток уехали не менее 67 − 18 − 16 − 16 = 17 богатырей. Но при этом во все восточные направления уехали не более 16 богатырей. Противоречие.
Б) Вариант 68 богатырей.
Так бывает:
- С: 17 богатырей
- СВ: 1 богатырь
- В: 15 богатырей
- ЮВ: 1 богатырь
- Ю: 15 богатырей
- ЮЗ: 1 богатырь
- 3: 17 богатырей
- СЗ: 1 богатырь
В) Вариант 69 богатырей.
В третьем случае в северных направлениях уехали не более 19 богатырей, в южных направлениях — не более 17 богатырей. На запад — тоже не более 17.
Поэтому на восток уехали не менее 69 − 19 − 17 − 17 = 16 богатырей. Но при этом во все восточные направления (включая ещё и юго-восток и северо-восток, куда уехали как минимум 2 человека) уехали не более 17 богатырей. Противоречие.
Г) Вариант 70 богатырей.
В последнем случае в северных направлениях уехали не более 19 богатырей, в южных направлениях — не более 17 богатырей. На запад — тоже не более 17.
Поэтому на восток уехали не менее 70 − 19 − 17 − 17 = 17 богатырей. Но при этом во все восточные направления (включая ещё и юго-восток и северо-восток, куда уехали как минимум 2 человека) уехали не более 17 богатырей. Противоречие.
