Решите уравнение:

1 − (2 − (3 − (… 2010 − (2011 − (2012 − $x$)) … ))) = 1006

Дорогу длиной 28 километров разделили на три неравные части. Расстояние между серединами крайних частей равно 16 км. Найдите длину средней части.

Один из углов трапеции равен 60°. Найдите отношение её оснований, если известно, что в эту трапецию можно вписать окружность и около этой трапеции можно описать окружность.

Дан числовой ребус: ТЭТА + БЭТА = ГАММА. (Разным буквам соответствуют разные цифры, одинаковым — одинаковые.) Найдите все его решения и докажите, что других нет.

Существует ли натуральное n такое, что число n²⁰¹² − 1 является какой-либо степенью двойки?

В пять 15-литровых вёдер налито соответственно 1, 2, 3, 4 и 5 литров воды. Разрешается утроить количество воды в любом сосуде, налив в него воду из какого-нибудь одного другого (если воды не хватает, чтобы утроить количество, то выливать из этого ведра нельзя). Какое наибольшее количество воды можно такими действиями собрать в одном ведре?

Комментарий: необязательно выливать всё содержимое ведра, то есть мы можем отмерять нужное число литров, и ведро необязательно должно стать пустым после перелива воды.