Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2017 год
дата проведения: 16 октября 2017 - 22 октября 2017
Задача 3.
Можно ли в некоторые клетки таблицы 8 × 8 написать единицы, а в остальные — нули, так, чтобы во всех столбцах была разная сумма, а во всех строчках — одинаковая?
Ответ на Задачу 3.
Ответ: можно.
Решение:
Пусть сумма чисел в каждой строчке равна $x$. Тогда сумма всех чисел в таблице равна 8$x$, то есть общая сумма делится на 8. Заметим, что в столбцах может быть от 0 до 8 единиц. Сумма всех чисел от 0 до 8 равна36. Чтобы получить кратное 8 число, нужно из 36 отнять 4. Поэтому в нашем примере не должно быть столбца, в котором ровно 4 единицы.
Пример изображён ниже (есть и другие примеры).
