Всероссийская олимпиада школьников по математике, 8 класс, 2020 год, 2 этап
дата проведения: 21 октября 2020 - 23 октября 2020
источник: https://olympiads.mccme.ru/vmo/
Задача 3.
Четверо ребят гуляли вдоль аллеи и решили посчитать количество елей, высаженных вдоль неё.
- Аня сказала: «Вдоль аллеи всего 15 елей.»
- Боря сказал: «Количество елей делится на 11.»
- Вера сказала: «Елей точно меньше 25.»
- Гена сказал: «А я уверен, что их количество делится на 22.»
Один мальчик и одна девочка сказали правду, а остальные двое ошиблись. Сколько елей растёт вдоль аллеи?
Ответ на Задачу 3.
Ответ: 11 елей.
Решение:
Пусть 𝑁 — количество елей вдоль аллеи.
Предположим, Гена сказал правду, и 𝑁 делится на 22. Но тогда 𝑁 делится и на 11, т.е. и Боря сказал правду. Но по условию один из мальчиков ошибся. Значит, Гена всё же ошибся, но тогда Боря прав. Итак, 𝑁 делится на 11, но не делится на 22.
Поскольку 15 не делится на 11, Аня точно ошиблась. Тогда Вера сказала правду, и 𝑁 < 25. Но существует ровно одно число, меньшее 25, делящееся на 11 и не делящееся на 22, — это 11. Легко проверить, что 𝑁 = 11 удовлетворяет всем условиям задачи.
