Всероссийская олимпиада школьников по математике, 10 класс, 2022 год
дата проведения: 19 октября 2022 - 21 октября 2022
источник: https://olympiads.mccme.ru/vmo/
Задача 3.
Дан прямоугольник 7 × 10. Чему равна площадь закрашенной фигуры?
Ответ на Задачу 3.
Ответ: 8,5.
Решение:
Пусть 𝑂 — центр прямоугольника; из симметрии ясно, что через эту точку проходят оба отрезка, проведённые внутри него. Расстояния от 𝑂 до сторон прямоугольника равны 7/2 = 3,5 и 10/2 = 5.
Соединим 𝑂 с двумя вершинами прямоугольника, как на рисунке. Тогда вся закрашенная фигура разбивается на 4 треугольника, у каждого из которых известна сторона и соответствующая ей высота. Осталось найти суммарную площадь:
(1 ⋅ 3,5) / 2 + (1 ⋅ 3,5) / 2 + (1 ⋅ 5) / 2 + (1 ⋅ 5) / 2 = 3,5 + 5 = 8,5
