Всероссийская олимпиада школьников по математике, 6 класс, 2022 год, 1 вариант
дата проведения: 19 октября 2022 - 21 октября 2022
источник: https://olympiads.mccme.ru/vmo/
Задача 5.
На прямой отмечены 5 точек 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆, 𝑇, именно в таком порядке. Известно, что сумма расстояний от 𝑃 до остальных 4 точек равна 67, а сумма расстояний от 𝑄 до остальных 4 точек равна 34. Найдите длину отрезка 𝑃𝑄.
Ответ на Задачу 5.
Ответ: 11.
Решение:
Из условия задачи известно, что
𝑃𝑄 + 𝑃𝑅 + 𝑃𝑆 + 𝑃𝑇 = 67
и
𝑄𝑃 + 𝑄𝑅 + 𝑄𝑆 + 𝑄𝑇 = 34
Найдём разность этих величин:
33 = 67 − 34 = (𝑃𝑄 + 𝑃𝑅 + 𝑃𝑆 + 𝑃𝑇) − (𝑄𝑃 + 𝑄𝑅 + 𝑄𝑆 + 𝑄𝑇) = (𝑃𝑄 − 𝑄𝑃) + (𝑃𝑅 − 𝑄𝑅) + (𝑃𝑆 − 𝑄𝑆) + (𝑃𝑇 − 𝑄𝑇) = 0 + 𝑃𝑄 + 𝑃𝑄 + 𝑃𝑄 = 3 ⋅ 𝑃𝑄,
откуда 𝑃𝑄 = 11.
