Всероссийская олимпиада школьников по математике, 9 класс, 2022 год
дата проведения: 19 октября 2022 - 21 октября 2022
источник: https://olympiads.mccme.ru/vmo/
Задача 4.
Простое число 𝑝 таково, что число 𝑝 + 25 является седьмой степенью простого числа. Чему может быть равно 𝑝? Укажите все возможные варианты.
Ответ на Задачу 4.
Ответ: 103.
Решение:
Воспользуемся тем, что единственное простое чётное число — это 2.
- Пусть 𝑝 = 2, тогда 𝑝 + 25 = 27, что не является седьмой степенью. Противоречие.
- Пусть 𝑝 > 2, тогда 𝑝 нечётно, а 𝑝 + 25 чётно. Поскольку 𝑝 + 25 чётно и является седьмой степенью простого числа, то это простое число равно 2. Следовательно, 𝑝 + 25 = 27 = 128, откуда получаем 𝑝 = 103.
