В аудитории за круглым столом сидели 90 пятиклассников и решали одну и ту же задачу. Каждый получил некоторый ответ и записал его в черновик. При этом правильный ответ получили более 60 человек. Перед тем, как сдать тетради, каждый из школьников посмотрел в черновик одного из двух своих соседей и записал в свой чистовик увиденный там ответ. Докажите, что не менее 32-х ответов в чистовиках пятиклассников оказались правильными.

Дана доска 9 × 9. В середине доски стоит фишка. Костя и Никита играют в игру, по очереди передвигают фишку в соседнюю по стороне клетку. Но нельзя сразу делать ход, противоположный ходу соперника, то есть, если соперник сходил вниз, то сразу после этого хода нельзя ходить вверх, если соперник ходил влево, нельзя сразу после этого хода ходить вправо и т.д. Выигрывает тот, кто первым поставит фишку в клетку, в которой она уже была. Начинает Костя. Кто может всегда выигрывать в этой игре и как он должен для этого играть?

С числом можно делать следующую операцию: любые две рядом стоящие цифры заменять на их произведение. (Например из числа 5432 можно получить числа 2032, 5122 или 546). Можно ли при помощи таких операция из числа 987777765 получить число 123333345?

На столе по кругу лежат семь одинаковых по весу и виду золотых монет. Фальшивомонетчик Иннокентий заменил из них какие-то (может быть всего одну, но хотя бы одну точно) фальшивыми, по виду точно такими же, но более лёгкими. При этом никакие две рядом лежащие монеты не стали фальшивыми. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь узнать, сколько монет на столе фальшивых? (Фальшивые монеты весят одинаково)

Периметр фигуры, состоящей из двух клеточек, ровно в 3 раза больше площади. Существуют ли ещё связные фигуры из клеточек, у которых периметр ровно в 3 раза больше площади?