Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $x^2 − (2m + 1) x − 2,5 m^2 − m = 2$. Какое минимальное значение может принимать $x_1^2 + x_2^2$?

Дан равнобедренный прямоугольный треугольник $P Q R\left(\angle P = 90^{\circ}\right)$. Точка $T$ выбрана так, что $\angle P Q T = \angle P R T = 30^{\circ}$. Найдите градусную меру $\angle Q T R$. Если значений несколько, то в ответ запишите их сумму.

В последовательности чисел 1, 2, 3, …, 1000 сначала вычеркнули все те числа, которые делятся на 2, потом последовательно все те, которые делятся на 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Чему равна сумма оставшихся составных чисел?

Для арифметической прогрессии с тысячным членом $a_{1000} = 150$ и разностью, равной 0,5, найдите значение выражения:

$\displaystyle 9900 \cdot\left(\frac{1}{a_{1580} \cdot a_{1581}} + \frac{1}{a_{1581} \cdot a_{1582}} + \ldots + \frac{1}{a_{2019} \cdot a_{2020}}\right) $

Автобус выехал со скоростью 40 км/ч из филиала I Сибирского федерального университета в филиал II, находящийся на расстоянии 240 км от филиала I. Одновременно с ним из филиала II в филиал I выехал автомобиль со скоростью $x$ км/ч. Через 30 минут после встречи с автобусом автомобиль, не доезжая до филиала I, повернул обратно и с той же скоростью поехал в филиал II. Найдите количество целых значений $x$, при которых автомобиль приедет в филиал II раньше автобуса.

Некоторые клетки белой квадратной доски 6 × 6 покрасили в серый или оранжевый цвета. Бельчонок за один ход может перейти в соседнюю по стороне клетку. Оказалось, что если бельчонок захочет пройти с любой белой клетки в любую другую белую клетку, то он гарантированно пройдёт через клетки серого и оранжевого цветов. Какое наибольшее количество белых клеток могло быть на доске?

Бельчата Вася, Дима, Коля и Саша составляли расписание смен охраны сундука с орехами на 21 день. В первый и последний дни охранять должен Вася, а в остальные – кто-то один из них четверых. Известно, что Вася не является другом Саши, а Дима не является другом Коли. Все остальные бельчата дружат друг с другом. Сколько существует способов составить расписание смен, если в соседние дни могут дежурить только друзья, и один бельчонок не может дежурить два дня подряд?

Для натуральных чисел $n$, $m$ и $k$ справедливы равенства $n − m = (\text{НОД}(n, m))^2$, $n \cdot m = k^2$. Найдите последнюю цифру числа $k$. Если полученных значений несколько, то в ответ запишите их в порядке убывания без пробелов.

Пусть $I$ – точка пересечения биссектрис, а $M$ – точка пересечения медиан треугольника $P Q R$. Известно, что $\Im \| P R$ и периметр треугольника $P Q R$ равен 24. Найдите длину $P R$.

Сколько различных 3-элементных подмножеств множества { 1, 2, … , 11, 20 } не содержат двух последовательных чисел?