Арсений вчера записал в блокнот 5 целых чисел. Рано утром он вычислил все возможные попарные суммы. У него получилось: 22, 11, 6, −1, 10, 9, 4, 16, 15, 20. Выясните, какие числа записал Арсений.

Четыре гномика поселились в клетках квадрата 2 × 2. Утром гномики, живущие в соседних по сторонам клетках, пожали друг другу руки. На следующий день они поселились в домики по-другому и опять пожали руки соседям. На третий день всё повторилось. Могло ли оказаться так, что каждый пожал каждому руку ровно 2 раза?

Решите ребус: ТУРНИР + ОСТРОВ = МИНИБОИ (Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.)

Из шахматной доски вырезали 2 квадратика 2 × 2. Докажите, что оставшуюся часть доски всегда можно разбить на доминошки. (Доминошка — фигура, состоящая из двух соседних по стороне клеток.)

Найдите наименьшее число, больше 1000, оканчивающееся на те же три цифры, что и число 512 и кратное 512.

Игорь выставляет на шахматную доску коней так, чтобы они не били друг друга. У него нашлись только 31 фигурка. Сколькими способами он сможет их все выставить на доску, чтобы желаемое условие выполнялось?

На окружности расположены 1024 белых домика. Тридцать два гнома красят дома в синий цвет (изначально гномики могут стоять у любого дома, но не красят его). За один ход первый гном перемещается по окружности вправо или влево, второй — на два дома вправо или влево, третий — на 3 и так далее, тридцать второй — на 32. И одновременно красят дом, рядом с которым оказались. Если несколько гномов оказалось около одного дома, то они вместе его красят. В некоторый момент оказалось, что все дома синие. Докажите, что хотя бы один гном за это время красил уже покрашенный дом.

На турнир приехали сто школьников 5 и 6 классов. Оргкомитет выяснил следующее: любых шести школьников можно расселить по двум 3-местным номерам так, что в каждом номере оказались все знакомы между собой. Какое наименьшее число пар знакомых могло быть среди школьников?