При каком наименьшем 𝑁 будет верна фраза: «При любом расположении 𝑁 королей на шахматной доске (каждый король занимает ровно 1 клетку) каждый из королей будет бить другого короля».

Из клетчатого прямоугольника по линиям сетки можно вырезать 3700 трёхклеточных уголков. Докажите, что из точно такого же прямоугольника можно вырезать хотя бы 1000 прямоугольников размером 1 × 11.

Круг разделён на 9 секторов. Винни-Пух хочет поставить в каждый сектор несколько горшочков мёда так, чтобы количество в парах соседних секторов принимали все возможные значения от 2011 до 2019 по одному разу. Сможет ли Винни-Пух справиться с задачей?

Как на плоскости отметить 11 точек и 10 прямых так, чтобы на 5 проведённых прямых лежало ровно по 3 отмеченные точки, а на других 5 проведённых прямых лежало ровно по 4 отмеченные точки?

Каждое утро Катерина выпивает чашечку кофе по одной и той же цене в одной и той же кофейне. Чашечка кофе стоит целое число рублей. Известно, что 1000 рублей хватает на 27 чашечек, а 1400 не хватает на 38 чашечек. Сколько может стоить чашечка кофе?

Пете подарили набор из 6 гирек, на которых были написаны массы 1 г, 2 г, 3 г, 4 г, 5 г, 6 г; все массы встречались ровно 1 раз. Оказалось, что веса 5 гирек из набора соответствуют надписям на них, а одна гирька оказалась бракованной — её вес меньше указанного. За какое наименьшее количество взвешиваний на чашечных весах без стрелок можно гарантировано найти бракованную гирьку?

На доске написано записано число. Каждую секунду происходит следующее: сначала последнюю цифру числа на доске стирают, затем к оставшемуся числу прибавляют удвоенную стертую цифру и полученную сумму записывают на доску, полностью стирая старое число. Например, если на доске в какой-то момент появилось число 123, то после него на доске появится число 12 + 3 ⋅ 2 = 18; а если было число 20, то вместо него на доске появится число 2 + 0 ⋅ 2 = 2. Какое число будет на доске через час, если сначала записать на доску число 1102?

У Шляпника есть двое механических часов. Одни отстают на 5 минут в час, а другие спешат на 15 минут в час. Ровно в полдень 18 февраля 2019 года Шляпник выставил верное время на обоих часах. Когда часы вновь покажут снова одинаковое время?