Цифры пятизначного числа записали в обратном порядке и из исходного числа вычли полученное. Может ли полученная разность быть равна 10998?

10 школьников вечером звонили друг другу, никакие два школьника не разговаривали более 1 раза, при этом Ипполит (один из этих 10 школьников) имел разговоров меньше, чем кто-либо другой из этой компании, всего лишь четыре. Докажите, что найдутся 3 школьника, которые попарно разговаривали друг с другом, то есть каждый из них разговаривал с каждым из остальных.

На столе лежит 100 карточек с числами от 1 до 100, каждое число встречается по одному разу. Антон и Боря по очереди (начинает Антон) берут себе по одной карточке. После 50 пар ходов Антон подсчитывает сумму чисел на своих карточках, он хочет, чтобы она делилась на 99. Сможет ли Боря ему помешать?

Мальвина составила из десяти попарно различных натуральных чисел (то есть в наборе нет одинаковых чисел) пять примеров на сложение двух слагаемых, взяв в качестве слагаемых в каждый пример эти числа, каждое по разу в одну из пар слагаемых. Буратино сосчитал эти примеры и получил ответы: 20, 21, 22, 23, 24. Мальвина из этих же чисел составила пять новых примеров на сложение. В этот раз Буратино посчитал и получил ответы: 10, 14, 16, 25, 45. Докажите, что Буратино где-то ошибся в своих подсчетах.

Клетки доски 5 × 5 закрашены в шахматном порядке, причём угловые клетки чёрные. Миша разрезал эту доску по сторонам клеток на пять связных пятиклеточных фигур (такие фигуры называются фигурами пентамино; среди фигур могут быть как разные, так и одинаковые фигуры). Могло ли так оказаться, что более чем в половине фигур больше половины клеток белые?

За круглым столом сидят 20 человек. Некоторые из них всегда говорят правду, а остальные всегда врут. У ведущего имеется 20 карточек, на каждой из которых написано число 1, 2 или 3. Он раздал каждому по карточке и спросил, какое число там написано. Все ответили: «На моей карточке написано число 1!» Ведущий как-то иначе раздал эти же самые карточки и повторил свой вопрос. Все ответили: «На моей карточке написано число 2!» Ведущий третий раз раздал эти же карточки и задал тот же вопрос. Может ли оказаться так, что все ответят: «На моей карточке написано число 3»? (Не забудьте обосновать свой ответ!)

Есть 5 монет: 2 настоящие (они весят одинаково) и 3 фальшивые (они все весят одинаково, но отличаются по весу от настоящих; при этом непонятно в какую сторону). По виду все монеты неразличимы. Как за 2 взвешивания на чашечных весах без гирь хотя бы про какую-то монету выяснить: фальшивая она или настоящая?

Коля отдыхает все среды, субботы и воскресенья, также Коля отдыхает, если в записи числа текущего дня есть цифра 3, например, он отдыхает 13 марта или 30 августа. Какое наибольшее количество дней подряд может отдыхать Коля?