Задача 1.
Электронные часы показывают время 20:11. Сколько минут пройдёт прежде, чем часы впервые покажут тот же набор цифр 0, 1, 1 и 2 в некотором другом порядке?
(А) 49
(Б) 50
(В) 59
(Г) 60
(Д) 120
Задача 2.
На двух соседних сторонах правильного шестиугольника построили по квадрату. Чему равен угол α?
(А) 40°
(Б) 45°
(В) 50°
(Г) 60°
(Д) 80°
Задача 3.
Какой ученый дал своё имя системе координат на плоскости?
(А) Пифагор
(Б) Евклид
(В) Архимед
(Г) Виет
(Д) Декарт
Задача 4.
При сложении длин трёх сторон некоторого прямоугольника получается либо 20, либо 22. Каков периметр этого прямоугольника?
(А) 14
(Б) 18
(В) 28
(Г) 38
(Д) 56
Задача 5.
Жан-Кристоф продолжает изучать русский язык. Он записал цифрами и словами самое маленькое из натуральных чисел, для словесной записи которых требуется три слова. Какова сумма цифр этого числа?
(А) 2
(Б) 3
(В) 4
(Г) 5
(Д) 6
Задача 6.
На рисунке точки A и B — середины боковых сторон трапеции. Площадь закрашенного прямоугольника равна 13 см2. Какова площадь трапеции?
(А) 27 см2
(Б) 26 см2
(В) 25 см2
(Г) 24 см2
(Д) невозможно определить
Задача 7.
Какое из неравенств А-Г обязательно верно, если a > 5 и a − b < 3?
(А) b > 2
(Б) b < 2
(В) b < 8
(Г) b > 8
(Д) ни одно из неравенств А-Г не обязано выполняться
Задача 8.
Жук ползает по клетчатой плоскости (сторона клетки равна 1 см). Он выполз из точки О, прополз вверх 1 см, потом вправо 2 см, потом опять повернул направо и прополз 3 см, потом — 4 см, и т.д. Сколько раз он был на расстоянии 2 см от точки O?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) 5
Задача 9.
Чему равно отношение удвоенного квадрата утроенного куба ненулевого числа a к утроенному кубу удвоенного квадрата этого же числа?
(А) 3/4
(Б) 4/3
(В) 3/2
(Г) 9/2
(Д) ответ зависит от a
Задача 10.
Из 18 одинаковых спичек сложили картинку, изображённую на рисунке. На ней имеется 13 треугольников. Какое наибольшее количество треугольников можно «разрушить», убрав всего одну спичку?
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) 5
Задача 11.
Отрезок CE — диаметр окружности, ∠ABC = 50°. Найдите ∠ADE.
(А) 30°
(Б) 35°
(В) 40°
(Г) 45
(Д) 50°
Задача 12.
Если ${2^3}^a$ = ${8^3}^b$‚ то обязательно
(А) a = 3b
(Б) a = b + 3
(В) a = 4b
(Г) a = b + 1
(Д) b = a + 1
Задача 13.
Маленькая Яна схематично нарисовала карту своей деревни. Она изобразила 4 улицы (А, Б, В и Г) и отметила все 7 точек их пересечения. Однако в действительности ровно 3 из этих улиц являются прямыми. Какая из улиц не прямая?
(А) А
(Б) Б
(В) В
(Г) Г
(Д) невозможно определить по этому рисунку
Задача 14.
Если отношение двух натуральных чисел равно 3 : 2, то отношение их наименьшего общего кратного к их наибольшему общему делителю равно
(А) 1,5
(Б) 2
(В) 3
(Г) 5
(Д) 6
Задача 15.
Правильный треугольник и квадрат расположены так, что площадь их пересечения равна трети площади треугольника и одновременно четверти площади квадрата. Каково отношение сторон треугольника и квадрата?
(А) $\sqrt[4]{3}$
(Б) $\sqrt{3}$
(В) $\displaystyle \frac{4}{3}$
(Г) $\displaystyle \frac{3}{4}$
(Д) невозможно определить
Задача 16.
Каково наибольшее количество последовательных трёхзначных чисел, каждое из которых имеет хотя бы одну нечётную цифру?
(А) 1
(Б) 10
(В) 110
(Г) 111
(Д) 121
Задача 17.
Учитель задал на лето отличнику Пете и двоечнику Васе задачи, причём Васе — в 4 раза больше задач, чем Пете. После каникул оказалось, что Петя и Вася решили поровну задач, и процент задач, решённых Васей, равен проценту задач, не решённых Петей. Сколько процентов задач решил Петя?
(А) 40%
(Б) 50%
(В) 60%
(Г) 80%
(Д) 90%
Задача 18.
Пусть $x>1$, $y>1$. Какая из следующих дробей самая большая?
(А) $\displaystyle \frac{x}{y − 1}$
(Б) $\displaystyle \frac{x}{y + 1}$
(В) $\displaystyle \frac{2x}{2y + 1}$
(Г) $\displaystyle \frac{2x}{2y − 1}$
(Д) $\displaystyle \frac{3x}{3y + 1}$
Задача 19.
Выделенные отрезки можно получить друг из друга поворотом вокруг некоторой точки. Какие из отмеченных точек могут быть центрами такого поворота?
(А) только A
(Б) A и C
(В) A и D
(Г) только D
(Д) B и D
Задача 20.
Марк выписал числа от 1 до 9 в некотором порядке. Затем он нашёл среднее арифметическое в каждой паре соседних чисел в этом ряду и сложил получившиеся 8 чисел. Какая наибольшая сумма могла у него получиться?
(А) 36,5
(Б) 43,5
(В) 45
(Г) 45,5
(Д) 90
Задача 21.
Учитель сказал: «Вы, конечно же, не можете не знать, что квадрат нечётного числа не может быть чётным числом». Что он имел в виду?
(А) Вы наверняка знаете, что квадрат нечётного числа может быть нечётным.
(Б) Вы, возможно, знаете, что квадрат нечётного числа всегда нечётен.
(В) Вы, возможно, знаете, что квадрат нечётного числа всегда чётен.
(Г) Вы наверняка знаете, что квадрат чётного числа всегда чётен.
(Д) Вы наверняка знаете, что квадрат нечётного числа всегда нечётен.
Задача 22.
Точка A с координатами (1, −10) лежит на левой ветви параболы y = x2 + bx + c. Какое из утверждений А-Г может быть неверным?
(А) b < 0
(Б) b2 > 4c
(В) c < 0
(Г) b + c < 0
(Д) все утверждения А-Г обязательно верны
Задача 23.
Две окружности расположены так, как показано на рисунке. Отрезок AB — диаметр меньшей окружности, O — центр большей окружности. Радиус большей окружности равен 1. Какова площадь заштрихованной области?
(А) $\displaystyle \frac{π}{6}$
(Б) $\displaystyle \frac{\sqrt{3}{π}}{12}$
(В) $\displaystyle \frac{\sqrt{3}π}{6}$
(Г) $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}$
(Д) $\displaystyle \frac{1}{2}$
Задача 24.
В некотором месяце было 5 понедельников, 5 вторников и 5 сред. В предыдущем месяце было только 4 воскресенья. Тогда в следующем месяце будет
(А) ровно 4 пятницы
(Б) ровно 4 субботы
(В) 5 воскресений
(Г) 5 сред
(Д) так не бывает
Задача 25.
На стороне BC треугольника ABC выбрана точка O, а на отрезке AD выбрана точка E. Найдите наименьшее возможное количество различных чисел среди величин углов, отмеченных цифрами 1, 2, ..., 9.
(А) 1
(Б) 2
(В) 3
(Г) 4
(Д) 5
Задача 26.
Из двух диаметрально противоположных точек кругового трека одновременно стартуют два велосипедиста. Они едут в одном направлении с постоянными скоростями. Время от времени первый велосипедист обгоняет второго. Восьмой обгон произошёл через 1 час после начала движения. Через сколько минут после восьмого случится девятый обгон?
(А) 4
(Б) 6
(В) 8
(Г) 10
(Д) невозможно определить
Задача 27.
Сколькими способами можно выбрать 4 ребра куба так, чтобы никакие два ребра из этой четвёрки не имели общих точек?
(А) 6
(Б) 8
(В) 9
(Г) 12
(Д) 18
Задача 28.
В клетки таблицы 4 × 5 требуется вписать 20 различных натуральных чисел. Все числа должны не превосходить n, и для любых двух клеток, имеющих общую сторону, вписанные в них числа должны иметь общий делитель, больший 1. При каком наименьшем n это возможно?
(А) 21
(Б) 24
(В) 25
(Г) 26
(Д) 27
Задача 29.
Квадрат со стороной 1 разрезан на 4 треугольника одинаковой площади. Один из этих треугольников оказался остроугольным. Какова длина меньшей стороны этого треугольника?
(А) √5/4
(Б) √2/2
(В) 1/2
(Г) 1/4
(Д) невозможно определить
Задача 30.
Среди попарных сумм некоторых 10 чисел не все целые. Какое наибольшее количество попарных сумм могут быть целыми?
(А) 45
(Б) 40
(В) 36
(Г) 24
(Д) 10
