Каково наибольшее возможное количество последовательных натуральных чисел, каждое из которых равно произведению двух простых чисел?

Миша из 63 карточек, на которых написаны только цифры 2, 3 и 4 составил число. Оказалось, что карточек, на которых написана цифра 2, на 22 больше, чем тех, на которых написана цифра 4. Помогите Мише найти остаток от деления его числа на 9.

В интернате 10 жилых комнат. Жители этих комнат просыпаются по очереди. Если дверь их комнаты на месте, то они снимают дверь какой-то другой из этих комнат и уносят её в подвал. Если же дверь их комнаты унесена, то они забирают из подвала любую дверь и вешают её на место своей. Какое наибольшее количество дверей могло оказаться в подвале после того, как все проснулись?

Сколько существует семизначных чисел, в которых хотя бы одна цифра повторяется ровно три раза?

В каждой клетке доски 5 × 6 стоит лжец или рыцарь. Лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду. Каждый из стоящих на доске сказал: «Среди моих соседей — ровно один рыцарь» (соседями считаются те, кто стоит на клетках, имеющих общую сторону). Сколько рыцарей может быть на доске? (Перечислите все возможности.)

В стране 20 городов и 14 дорог, причём из каждого города выходит хотя бы одна. Докажите, что найдутся 6 дорог, оканчивающихся в 12 различных городах.

Шелдон поехал на конференцию, разумеется, на поезде. На весь путь он потратил 𝑡 минут (меньше часа). Ещё он заметил, что на станциях отправления и прибытия угол между часовой и минутной стрелками равнялся 𝑡 градусам. Найдите время, которое Шелдон был в пути.

На полке в камере хранения стоят 10 чемоданов, занумерованных в некотором порядке числами от 1 до 10. Чемоданы имеют разную ширину и стоят необязательно вплотную друг к другу и к краям полки. Кладовщик снимает с полки чемодан № 1, а затем ставит его обратно на полку в самое левое из возможных положений, не сдвигая другие чемоданы. Затем он берет чемодан № 2 и ставит его в самое левое возможное положение, и т. д. После перестановки чемодана № 10 кладовщик снова переходит к чемодану № 1, и т. д. Докажите, что после 100 операций кладовщик будет ставить каждый чемодан на то место, откуда его только что взял. (Если очередной чемодан пришлось поставить на место, откуда его взяли, это всё равно засчитывается как выполненная операция.)