Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2019 год, высшая лига, 4 тур
дата проведения: 20 февраля 2019
источник: https://moebiustour.ru/archive/tour3
Задача 8.
Периметр фигуры, состоящей из двух клеточек, ровно в 3 раза больше площади. Существуют ли ещё связные фигуры из клеточек, у которых периметр ровно в 3 раза больше площади?
Ответ на Задачу 8.
Рассмотрим фигуру с площадью более 2. Каждая клетка вносит в площадь вклад 1, а в периметр – не более 3 (так как у каждой клетки 4 стороны, но, по крайней мере, с одной стороны у неё есть соседняя клетка). Но так как фигура состоит более чем из двух клеток, то найдётся клетка, у которой есть как минимум две соседние клетки, то есть она сделает в периметр вклад не более 2. Значит, у такой фигуры периметр не может быть в 3 раза больше площади. (У фигуры состоящей из 1 клеточки периметр в 4 раза больше площади, то есть она тоже не подходит.) Ответ: Нет.